نوع خاصی معادله دیفرانسیل معمولی وجود دارد که با نام معادله دیفرانسیل لژاندر شناخته میشود و در فیزیک و مهندسی کاربرد زیادی دارد. این معادله به ویژه در حل معادله لاپلاس در مختصات کروی بسیار کارساز است. در این آموزش با معادله لژاندر و توابع لژاندر آشنا میشویم.
در این بخش برخی توابع و معادلههای مرتبط با لژاندر را معرفی میکنیم.
معادله دیفرانسیل رتبه دوم زیر به عنوان معادله لژاندر نامیده میشود:
(1–x2)d2ydx2–2xdydx+n(n+1)y=0n>0,|x|1
جواب عمومی این معادله تابعی از دو تابع لژاندر به فرم زیر است:
y=APn(x)+BQn(x)|x|1
که در آن، Pn(x)=12nn!dndxn(x2–1)n
تابع لژاندر نوع اول و Qn(x)=12Pn(x)ln1+x1–x
تابع لژاندر نوع دوم است.
معادله دیفرانسیل وابسته لژاندر به صورت زیر است:
(1–x2)d2ydx2–2xdydx+[n(n+1)–m21–x2]y=0
اگر m=0
را در این معادله قرار دهیم، معادله دیفرانسیل به معادله لژاندر کاهش مییابد.
جواب عمومی معادله دیفرانسیل لژاندر به صورت زیر است:
y=APmn(x)+BQmn(x)
که در آن، Pmn(x)
و Qmn(x)
توابع وابسته لژاندر نوع اول و نوع دوم به شکل زیر هستند:
Pmn(x)=(1–x2)m/2dmdxmPn(x)Qmn(x)=(1–x2)m/2dmdxmQn(x)
معادله دیفرانسیل لژاندر به صورت زیر است:
(1–x2)d2ydx2–2xdydx+n(n+1)y=0n>0,|x|1
یا به طور معادل:
ddx[(1–x2)dydx]+n(n+1)y=0n>0,|x|1
جوابهای این معادله، توابع لژاندر مرتبه n
نامیده میشوند. جواب عمومی را میتوان به صورت زیر نوشت:
y=APn(x)+BQn(x)|x|1
که در آن، Pn(x)
و Qn(x) توابع لژاندر نوع اول و دوم مرتبه n
هستند.
اگر n=0,1,2,3,…
باشد، توابع Pn(x)
، چندجملهایهای لژاندر نامیده شده و با فرمول ردریگو (Rodrigue’s Formula) ارائه میشوند:
Pn(x)=12nn!dndxn(x2–1)n
توابع لژاندر نوع اول Pn(x)
و نوع دوم Qn(x) از مرتبههای n=0,1,2,3
در دو شکل زیر نشان داده شدهاند.
شکل ۱: تابع لژاندر نوع اول (P(x) )
شکل ۲: تابع لژاندر نوع دوم (Q(x) )
چند چندجملهای اول لژاندر به صورت زیر هستند:
P0(x)=1P3(x)=12(5x3–3x)P1(x)=xP3(x)=18(35x4–30x2+3)P2(x)=12(3x2–1)P3(x)=18(63x5–70x3+15x)
فرمول بازگشتی چندجملهای به صورت زیر است:
Pn+1(x)=2n+1n+1xPn(x)–nn+1Pn–1(x)P′n+1(x)−P′n–1(x)=(2n+2)Pn(x)
و از آن در به دست آوردن چندجملهایهای مرتبه بالاتر استفاده میشود. در همه موارد Pn(1)=1
و Pn(–1)=(–1)n
است.
چندجملهایای لژاندر Pm(x)
و Pn(x) را در بازه –1≤x≤1
متعامد میگوییم، اگر
∫1–1Pm(x)Pn(x)dx=0m≠n
و در نتیجه، داریم:
∫1–1[Pn(x)]2dx=22n+1m=n
هر تابع f(x)
را که در بازه −1≤x≤1
محدود و تکمقداره بوده و تعداد متناهی ناپیوستگی در این بازه داشته باشد، میتوان با یک سری از چندجملهایهای لژاندر بیان کرد.
تابع را به صورت زیر مینویسیم:
f(x)=A0P0(x)+A1P1(x)+A2P2(x)+…–1≤x≤1=∞∑n=0AnPn(x)
با ضرب هر دو طرف رابطه در Pm(x)dx
و و انتگرالگیری نسبت به x از x=–1 تا x=1
، داریم:
∫1–1f(x)Pm(x)dx=∞∑n=0An∫1–1Pm(x)Pn(x)dx
با توجه به ویژگی تعامد چندجملهایهای لژاندر میتوان نوشت:
An=2n+12∫1–1f(x)Pn(x)dxn=0,1,2,3…
از آنجا که با زوج بودن n
تابع Pn(x) یک تابع زوج از x است و هنگام فرد بودن n، تابع Pn(x) یک تابع فرد است، بنابراین، وقتی n فرد و f(x) زوج باشد، An
صفر میشود.
در نتیجه، برای تابع زوج f(x)
داریم:
An={0n is odd (2n+1)∫10f(x)Pn(x)dxn is even
در حالی که برای تابع فرد f(x)
خواهیم داشت:
An={(2n+1)∫10f(x)Pn(x)dxn is odd 0n is even
وقتی x=cosθ
باشد، تابع f(θ)
را میتوان به صورت زیر نوشت:
f(θ)=∞∑n=0AnPn(cosθ)0≤θ≤π
که در آن:
An=2n+12∫π0f(θ)Pn(cosθ)sinθdθn=0,1,2,3…
فرم انتگرالی چندجملهای لژاندر به صورت زیر است:
Pn(x)=1π∫π0[x+√x2–1cost]ndt
مقادیر Pn(x)
در x=0 و x=±1
به صورت زیر هستند:
P2n(0)=(–1)nΓ(n+1/2)√πΓ(n+1)P2n+1(0)=0P′2n(0)=0P′2n+1(0)=(–1)n2Γ(n+3/2)√πΓ(n+1)Pn(1)=1Pn(–1)=(–1)nP′n(1)=n(n+11)2P′n(–1)=(−1)n–1n(n+1)2|Pn(x)|≤1
علامتهای پریم مشتق نسبت به x
را نشان میدهند، بنابراین، در x=1 داریم: P′n(1)=dPn(x))dx
.
اگر A
یک نقطه ثابت با مختصات (x1,y1,z1) و P نقطه متغیر (x,y,z) باشند و فاصله AP با R
مشخص شود، داریم:
R2=(x–x1)2+(y–y1)2+(z–z0)2
با توجه به قضیه پتانسیل نیوتنی میدانیم که پتانسیل در نقطه P
نسبت به جرم واحد در نقطه A
به صورت زیر است:
ϕ=CR
که C
یک ثابت است. میتوان نشان داد که این تابع یک جواب برای معادله لاپلاس است.
در برخی شرایط، میخواهیم ϕ
را برحسب توانهای r یا r–1 گسترش دهیم که r=√x2+y2+z2 فاصله مبدأ O تا نقطه P
است.
شکل ۳: تابع مولد چندجملهای لژاندر
در شکل بالا:
a=|−−→OA|,r=|−−→OB|,ϕ=CR=c√r2+a2–2cos–1θ
با جایگذاری، میتوان نوشت:
ϕ=Cr[1–2xt+t2]–1/2
که در آن:
t=ar,x=cosθ
بنابراین:
ϕ≡Crg(x,t)
زاویه θ
بین بردارهای −−→OA و −−→OP
را تعیین کرده و مینویسیم:
R2=r2+a2–2cos–1θ
که در آن، a=|−−→OA|
است. اگر r/R=t و x=cosθ
را در نظر بگیریم، آنگاه خواهیم داشت:
g(x,t)=(1–2xt+t2)–1/2
که به عنوان تابع مولد برای Pn(x)
تعریف شده است. با استفاده از گسترش بسط دوجملهای، داریم:
g(x,t)=∞∑n=0(12)n(2xt–t2)nn!
نماد (α)n
به صورت زیر تعریف میشود:
(α)n=α(α+1)(α+2)…(α+n–1)=Πn–1k=0(α+k)(α)0=1
بنابراین، داریم:
g(x,t)=∞∑n=0(1/2)nn!n∑k=0n!(2x)n–ktn–k(–t2)kk!(n–k)!
که میتوان نوشت:
g(x,t)=(1–2xt+t2)–1/2=∞∑n=0⎡⎣n/2∑k=0(–1)k(2n–2k)!xn–2k2k!(n–k)!⎤⎦tn
ضریب tn
چندجملهای لژاندر Pn(x) برابر با tn
است. بنابراین، داریم:
g(x,t)=(1–2xt+t2)–1/2=∞∑n=0Pn(x)tn |x|≤1,|t|1
جوابهای دوم و خطی مستقل معادله لژاندر برای n
که یک عدد صحیح است، توابع لژاندر نوع دوم نامیده میشوند و به صورت زیر هستند:
Qn(x)=12Pn(x)ln1+x1−x=Wn–1(x)
که
Wn–1(x)=n∑m=11mPm–1(x)Pn–m(x)
یک چندجملهای درجه (n–1)
است. جمله اول Qn(x) دارای تکینگیهای لگاریتمی در x=±1 یا θ=0 و π
است.
چند چندجملهای نخست به صورت زیر هستند:
Q0(x)=12ln1+x1–xQ1(x)=P1(x)Q0(x)–1Q2(x)=P2(x)Q0(x)–32xQ3(x)=P3(x)Q0(x)–52x2+23
این چندجملهایها توابع درجه زوجی را نشان میدهند که باید در x
فرد باشند و بالعکس.
چندجملهای مرتبه بالاتر Qn(x)
را میتوان با فرمولهای بازگشتی دقیقاً مشابه چندجملهایهای Pn(x)
به دست آورد.
روابط بیشماری با استفاده از توابع لژاندر میتوان در قالب نظریه آنالیز مختلط به دست آورد. یکی از این رابطهها رابطه انتگرالی Qn(x)
است:
Qn(x)=∫∞0[x+√x2–1coshθ]−n–1dθ|x|>1
و تابع مولد آن به صورت زیر است:
(1–2xt+t2)–1/2cosh–1t–x√x2–1=∞∑n=0Qn(x)tn
برخی از مقادیر خاص Qn(x)
به شرح زیر هستند:
Q2n(0)=0Q2n+1(0)=(–1)n+12⋅4⋅6⋅⋯2n1⋅3⋅5⋅⋯(2n–1)Qn(1)=∞Qn(–x)=(–1)n+1Qn(x)
معادله دیفرانسیلِ
(1–x2)d2ydx2–2xdydx+[n(n+1)–m21−x2]y=0
معادله دیفرانسیل وابسته لژاندر نامیده میشود. اگر m=0
، این معادله به معادله لژاندر کاهش مییابد. جوابهای معادله بالا توابع وابسته لژاندر نامیده میشوند. در اینجا، بحث را به حالت مهمی که m و n
اعداد صحیح نامنفی هستند محدود میکنیم. در این حالت جواب عمومی را میتوان به صورت زیر نوشت:
y=APmn(x)+BQmn(x)
که در آن، Pmn
و Qmn(x)
، به ترتیب، توابع وابسته لژاندر نوع اول و دوم نام دارند. این توابع برحسب توابع لژاندر معمولی بیان میشوند:
Pmn(x)=(1−x2)m/2dmdxmPn(x)Qmn(x)=(1–x2)m/2dmdxmQn(x)
توابع Pmn(x)
در بازه –1≤x≤1 کراندارند، در حالی که توابع Qmn(x) در x±1
بدون کران هستند.
چند تابع وابسته لژاندر نوع اول به شرح زیر هستند:
P0n(x)=Pn(x)Pmn(x)=(1−x2)m/22nn!dm+ndxm+n(x2–1)n=0m>nP′1(x)=(1–x2)1/2P′3(x)=32(5x2–1)(1–x2)1/2P′2(x)=3x(1−x2)1/2P23(x)=15x(1–x2)P22(x)=3(1−x2)P33(x)=15(1–x2)3/2
فرمولهای بازگشتی Pmn(x)
نیز به صورت زیر هستند:
(n+1–m)Pmn+1(x)=(2n+1)xPmn(x)–(n+m)Pmn–1(x)Pm+2n(x)=2(m+1)(1–x2)1/2xPm+1n–(n–m)(n+m+1)Pmn(x)
مشابه چندجملهای لژاندر، توابع لژاندر Pn(x)
در بازه −1≤x≤1
متعامد هستند:
∫1–1Pmn(x)Pmk(x)dx=0n≠k
و همچنین:
∫1–1[Pmn(x)]2dx=22n+1(n+m)!(n–m)!
هر تابع f(x)
که در بازه –1≤x≤1
کراندار و تکمقداره است را میتوان به عنوان یک سری از توابع لژاندر وابسته توصیف کرد:
f(x)=AmPm1(x)+Am+1Pmm+1(x)+Am+2Pmm+2(x)+⋯
که در آن، ضرایب به صورت زیر تعیین میشوند:
Ak=2k+12(k–m)!(k+m)!∫1–1f(x)Pmk(x)dx
tablighat...
برچسب : نویسنده : agahya بازدید : 280