معادله دیفرانسیل لژاندرنوع خاصی معادله دیفرانسیل معمولی وجود دارد که با نام معادله دیفرانسیل لژاندر شناخته میشود و در فیزیک و مهندسی کاربرد زیادی دارد. این معادله به ویژه در حل معادله لاپلاس در مختصات کروی بسیار کارساز است. در این آموزش با معادله لژاندر و توابع لژاندر آشنا میشویم.تعاریف و معرفیدر این بخش برخی توابع و معادلههای مرتبط با لژاندر را معرفی میکنیم.معادله لژاندر و توابع لژاندرمعادله دیفرانسیل رتبه دوم زیر به عنوان معادله لژاندر نامیده میشود:(1–x2)d2ydx2–2xdydx+n(n+1)y=0n>0,|x|1 جواب عمومی این معادله تابعی از دو تابع لژاندر به فرم زیر است:y=APn(x)+BQn(x)|x|1 که در آن، Pn(x)=12nn!dndxn(x2–1)nتابع لژاندر نوع اول و Qn(x)=12Pn(x)ln1+x1–xتابع لژاندر نوع دوم است.معادله دیفرانسیل وابسته لژاندرمعادله دیفرانسیل وابسته لژاندر به صورت زیر است:(1–x2)d2ydx2–2xdydx+[n(n+1)–m21–x2]y=0 اگر m=0را در این معادله قرار دهیم، معادله دیفرانسیل به معادله لژاندر کاهش مییابد.جواب عمومی معادله دیفرانسیل لژاندر به صورت زیر است:y=APmn(x)+BQmn(x) که در آن، Pmn(x)و Qmn(x)توابع وابسته لژاندر نوع اول و نوع دوم به شکل زیر هستند:Pmn(x)=(1–x2)m/2dmdxmPn(x)Qmn(x)=(1–x2)m/2dmdxmQn(x) معادله لژاندر و جوابهای آنمعادله دیفرانسیل لژاندر به صورت زیر است:(1–x2)d2ydx2–2xdydx+n(n+1)y=0n>0,|x|1 یا به طور معادل:ddx[(1–x2)dydx]+n(n+1)y=0n>0,|x|1 جوابهای این معادله، توابع لژاندر مرتبه nنامیده میشوند. جواب عمومی را میتوان به صورت زیر نوشت:y=APn(x)+BQn(x)|x|1 که در آن، Pn(x)و Qn(x) توابع لژاندر نوع اول و دوم مرتبه nهستند.اگر n=0,1,2,3,…باشد، توابع Pn(x)، tablighat...
ادامه مطلبما را در سایت tablighat دنبال می کنید
برچسب : نویسنده : agahya بازدید : 280 تاريخ : يکشنبه 24 بهمن 1400 ساعت: 22:37